Der Satz von Torricelli ist ein Prinzip der Strömungsmechanik, das das Verhalten einer Flüssigkeit in einem Behälter mit einem Loch untersucht. Aus diesem Grund ist es auch als Torricelli-Prinzip bekannt.
Das Torricelli-Prinzip wird in der Hydraulik und Strömungsdynamik verwendet, um die Durchflussrate einer Flüssigkeit durch eine Öffnung zu bestimmen. Im Allgemeinen kann das Torricelli-Gesetz in verschiedenen Bereichen angewendet werden, beispielsweise im Bauingenieurwesen, der Hydrologie, der Physik und der Meteorologie.
Dieses Prinzip wurde im 17. Jahrhundert vom italienischen Physiker und Mathematiker Evangelista Torricelli formuliert.
Definition des Satzes von Torricelli
Das Torricelli-Prinzip besagt, dass die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit, die durch das Loch in einem Behälter fließt, gleich der Geschwindigkeit eines Körpers ist, der aus einer Höhe frei fällt, die der Entfernung vom Flüssigkeitsspiegel zum Schwerpunkt des Lochs entspricht.
Damit der Satz gültig ist, muss die Flüssigkeit folgende Eigenschaften haben: Sie muss inkompressibel sein, darf keine Viskosität aufweisen und darf nur der Schwerkraft unterliegen.
Dieser Satz basiert auf dem Gesetz der Erhaltung mechanischer Energie, das besagt, dass die Gesamtenergie eines geschlossenen Systems erhalten bleibt. Genauer gesagt ist es eine Folge des Bernoulli-Prinzips.
Torricellis Gleichung
Die Torricelli-Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit, die aufgrund des Höhenunterschieds zwischen der Flüssigkeit im Behälter und der Austrittsöffnung durch eine Öffnung fließt. Es handelt sich um eine abgeleitete Form des Energieerhaltungssatzes und wird wie folgt ausgedrückt:
\[
v = \sqrt{2gh}
\]
Wo:
- \( v \) ist die Austrittsgeschwindigkeit der Flüssigkeit (in Metern pro Sekunde).
- \( g \) ist die Erdbeschleunigung (ungefähr \( 9,81 \, \text{m/s}^2 \)).
- \( h \) ist die Höhe der Flüssigkeit im Behälter über dem Niveau der Auslassöffnung (in Metern).
Erläuterung:
- Das Torricelli-Prinzip besagt, dass die Geschwindigkeit, mit der eine Flüssigkeit einen Behälter verlässt, der Geschwindigkeit entspricht, die ein Objekt hätte, wenn es (aufgrund der Schwerkraft) frei aus einer Höhe h fallen würde.
- Die Gleichung basiert auf der Umwandlung der potentiellen Energie der Flüssigkeit (aufgrund ihrer Höhe) in kinetische Energie (aufgrund der Austrittsgeschwindigkeit).
Diese Gleichung ist unter der Annahme gültig, dass die Strömung ideal ist und keine Reibungsverluste oder andere komplizierende Faktoren vorliegen.
Beispiele für Torricellis Prinzip
Das Torricelli-Prinzip lässt sich in zahlreichen praktischen Situationen beobachten. Hier sind einige Beispiele:
Staurohr
Das Pitotrohr ist ein Instrument zur Messung der Geschwindigkeit von Flüssigkeiten, beispielsweise von Luft in Flugzeugen oder Flüssigkeiten in Rohren.
Es besteht aus zwei Rohren: eines misst den statischen Druck (den Druck, den die Flüssigkeit gleichmäßig ausübt), während das andere den Gesamtdruck misst (der den dynamischen Druck aufgrund der Bewegung der Flüssigkeit umfasst). Aus der Differenz dieser beiden Drücke lässt sich die Geschwindigkeit der Flüssigkeit unter Anwendung des Torricelli-Prinzips berechnen. Dieses Gerät wird in der Luftfahrt zur Bestimmung der Geschwindigkeit von Flugzeugen verwendet und kommt auch in der Technik zur Durchflussmessung in Hydrauliksystemen zum Einsatz.
Zierbrunnen und Wasserstrahlen
Wasserfontänen, insbesondere Zierbrunnen, nutzen das Torricelli-Prinzip, um Wasserstrahlen durch eine Düse zu erzeugen.
Die Geschwindigkeit des aus dem Brunnen austretenden Wassers hängt direkt vom Wasserstand im Reservoir ab, aus dem er gespeist wird. Je höher das Wasser steht, desto größer ist der Druck am Boden, was wiederum die Fließgeschwindigkeit durch die Düse erhöht.
Dieses Prinzip wird nicht nur bei dekorativen Springbrunnen, sondern auch bei Bewässerungssystemen und bei Naturphänomenen wie Geysiren verwendet, bei denen der Druck des heißen Wassers die Flüssigkeit nach oben drückt.
Abfüllen von Flaschen und Behältern
Wenn eine Flüssigkeit aus einem großen Behälter in eine Flasche oder ein Glas gegossen wird, wird der Flüssigkeitsfluss durch den Höhenunterschied zwischen den Flüssigkeitsspiegeln in beiden Behältern beeinflusst.
Aufgrund des hohen Drucks, der durch die Flüssigkeit im großen Behälter entsteht, ist der Durchfluss zunächst schnell. Wenn jedoch der Flüssigkeitsstand im großen Behälter sinkt, verringert sich der Druck, wodurch der Durchfluss verlangsamt wird. Dieses Verhalten wird durch das Torricelli-Prinzip erklärt, das besagt, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Öffnung von der Höhe der Flüssigkeitssäule abhängt.
Entleerung von Tanks und Behältern
Das Torricelli-Prinzip gilt auch für das Ablassen von Flüssigkeiten aus Tanks oder Reservoirs.
Wenn eine Flüssigkeit aus einem Tank durch ein Ventil oder eine Öffnung am Boden fließt, wird die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit austritt, durch den Höhenunterschied zwischen dem Flüssigkeitsspiegel im Tank und dem Auslass bestimmt. Je größer dieser Höhenunterschied ist, desto höher ist die Fließgeschwindigkeit und desto schneller kann der Tank entleert werden.
Dieses Phänomen kann in Systemen wie Wassertanks, Speichertürmen und Entwässerungssystemen beobachtet werden.
Löcher in perforierten Behältern
Wenn ein mit Wasser gefüllter Behälter ein Loch in der Seitenwand hat, beginnt das Wasser aufgrund des Innendrucks, der durch die Flüssigkeit im Behälter ausgeübt wird, herauszufließen. Nach dem Torricelli-Prinzip hängt die Geschwindigkeit, mit der das Wasser das Loch verlässt, von der Höhe des Wasserspiegels im Behälter im Verhältnis zum Loch ab.
Je höher die Höhe, desto größer ist die Geschwindigkeit des Wassers beim Austritt. Dieses Phänomen lässt sich in physikalischen Experimenten beobachten, um zu veranschaulichen, wie Druck und Schwerkraft den Fluss von Flüssigkeiten beeinflussen. Es tritt auch in alltäglichen Situationen auf, beispielsweise wenn ein Wasserbehälter ein kleines Loch an der Seite hat.
Torricellis Experiment
Das Torricelli-Experiment, das 1643 vom Physiker und Mathematiker Evangelista Torricelli durchgeführt wurde, wies die Existenz des Luftdrucks nach und war der Schlüssel zur Erfindung des Barometers.
Beschreibung des Experiments
Torricelli füllte ein etwa einen Meter hohes Glasrohr mit Quecksilber und bedeckte es mit seinem Finger. Anschließend drehte er das Rohr um und tauchte es in einen ebenfalls mit Quecksilber gefüllten Behälter.
Als er seinen Finger herauszog, stellte er fest, dass der Quecksilberspiegel im Rohr sank, es jedoch nicht vollständig entleerte, sodass noch etwa 76 cm³ Quecksilber im Rohr verblieben.
Abschluss
- Torricelli schlussfolgerte, dass das Quecksilber nicht vollständig fiel, weil der atmosphärische Druck das Quecksilber in den Behälter drückte und so sein Gewicht im Rohr ausglich.
- An der Spitze der Röhre verblieb ein leerer Raum (das sogenannte „Torricellsche Vakuum“), was einer der ersten experimentellen Beweise für ein Vakuum in der Natur war.
- Er stellte fest, dass der Luftdruck anhand der Höhe des Quecksilbers im Rohr gemessen werden konnte, und legte damit den Grundstein für das erste Barometer.
Dieses Experiment ermöglichte ein besseres Verständnis des Luftdrucks und legte den Grundstein für die Entwicklung der Meteorologie und der Strömungsphysik.
Praktisches Experiment mit einer Flasche Torricellis Prinzip
Nachfolgend zeigen wir ein sehr einfaches Experiment zur Veranschaulichung der Funktionsweise des Torricelli-Theorems, das auch zur Erklärung der wissenschaftlichen Methode verwendet werden kann. Dieses Experiment kann mit Materialien durchgeführt werden, die zu Hause zu finden sind.
Materialien:
- Eine leere Plastikflasche
- Ein scharfer Nagel oder eine Nadel
- Wasser
Anweisungen:
- Füllen Sie die Plastikflasche zur Hälfte mit Wasser.
- Stechen Sie mit dem Nagel oder der Nadel etwa bis zur Hälfte der Flasche ein kleines Loch.
- Stellen Sie einen Behälter unter die Flasche, um das Wasser aufzufangen, das durch das Loch austritt.
- Öffnen Sie den Flaschendeckel, damit Luft eindringen und das Wasser ungehindert fließen kann.
Beobachtungen:
Wenn das Loch in die Flasche gemacht ist, beginnt Wasser durch das Loch zu fließen. Je mehr Wasser die Flasche verlässt, desto geringer wird die Geschwindigkeit des Wassers. Die aus dem Loch austretenden Wasserpartikel beschreiben die typische Flugbahn eines Parabolschusses mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit.
Wenn wir die Höhe des Lochs im Verhältnis zur Oberfläche des Behälters kennen, auf die das Wasser fällt, und den horizontalen Abstand vom Loch bis zum Punkt, an dem das Wasser fällt, können wir die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers zu jedem Zeitpunkt berechnen.