Die Kontinuitätsgleichung ist ein physikalisches Gesetz, das besagt, dass die Menge an Masse oder Flüssigkeit, die in ein geschlossenes System eintritt, gleich der Menge an Masse oder Flüssigkeit ist, die das System im gleichen Zeitraum verlässt.
Die Kontinuitätsgleichung gilt für jede Art von Flüssigkeit, solange die Flüssigkeit inkompressibel und die Strömung stationär ist, d. h. Geschwindigkeit und Eigenschaften der Flüssigkeit an jedem Punkt im System ändern sich nicht mit der Zeit.
Eine inkompressible Flüssigkeit hat eine konstante Dichte und ändert ihr Volumen bei Druckeinwirkung nicht.
Beispiele für die Kontinuitätsgleichung
Nachfolgend einige Beispiele für die Anwendung im Alltag:
Flüssigkeitsfluss in einem Rohr
Ein klassisches Beispiel für die Anwendung der Kontinuitätsgleichung ist die Strömung einer Flüssigkeit in einem Rohr.
Angenommen, eine Flüssigkeit strömt mit der Geschwindigkeit v₁ durch ein Rohr mit dem Querschnitt A₁ und tritt dann mit der Geschwindigkeit v₂ in ein Rohr mit dem Querschnitt A₂ ein.
Mit dieser Gleichung können wir die Rohrabschnitte dimensionieren, um die Strömungsgeschwindigkeit zu ändern.
Wasserfluss in einem Fluss
Die Kontinuitätsgleichung gilt auch für den Wasserfluss in einem Fluss.
Diese Gleichung wird verwendet, um die Geschwindigkeit des Wassers an verschiedenen Stellen im Fluss zu berechnen. Daher kann das Verhalten des Flusses unter verschiedenen Bedingungen vorhergesagt werden, beispielsweise beim Bau von Dämmen oder bei Ingenieurarbeiten zum Hochwasserschutz.
Mathematische Formel
Mathematisch ausgedrückt wird die Kontinuitätsgleichung durch die folgende Formel ausgedrückt:
A₁ * v₁ = A₂ * v₂
Wo:
- A₁ und A₂ sind die Querschnittsflächen der Leitung oder des Rohrs an den Punkten 1 bzw. 2.
- v₁ und v₂ sind die Flüssigkeitsgeschwindigkeiten an den Punkten 1 bzw. 2.
Wenn gemäß der Kontinuitätsgleichung die Querschnittsfläche der Leitung oder des Rohrs, durch die die Flüssigkeit fließt, konstant bleibt, stehen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit und die Durchflussrate in einem umgekehrten Verhältnis zueinander. Mit anderen Worten: Steigt die Flüssigkeitsgeschwindigkeit, sinkt die Strömungsgeschwindigkeit und umgekehrt.
Zusammenhang mit dem Prinzip der Kontinuität
Die Kontinuitätsgleichung steht in engem Zusammenhang mit dem Kontinuitätsprinzip, das besagt, dass in einem stabilen Strömungssystem die eintretende Flüssigkeitsmenge gleich der austretenden Flüssigkeitsmenge sein muss, solange es keine Verluste oder Ansammlungen gibt.
Dieses Prinzip basiert auf der Massenerhaltung und gilt für inkompressible Flüssigkeiten (solche, deren Dichte sich nicht wesentlich ändert, wie zum Beispiel Wasser) und in bestimmten Fällen für komprimierbare Flüssigkeiten (wie zum Beispiel Gase).
In der Praxis bedeutet das Kontinuitätsprinzip, dass sich die Geschwindigkeit eines Fluids ändert, wenn es sich durch eine Leitung mit unterschiedlichen Querschnittsflächen bewegt, um den Volumen- oder Massendurchfluss konstant zu halten. Wenn sich beispielsweise der Durchgang verengt, muss die Flüssigkeit ihre Geschwindigkeit erhöhen, um die Flächenverringerung auszugleichen, und umgekehrt, wenn sich der Durchgang erweitert.
Einsatzmöglichkeiten und praktische Anwendungen
Die Kontinuitätsgleichung hat vielfältige Anwendungen in der Physik und im Ingenieurwesen, insbesondere in der Strömungsmechanik. Nachfolgend sind einige seiner Hauptanwendungen aufgeführt:
- Rohrleitungssystemdesign: Wird zur Berechnung von Flüssigkeitsfluss und -geschwindigkeit an verschiedenen Punkten im Rohrleitungssystem verwendet, sodass Rohrdurchmesser und -länge so dimensioniert werden können, dass ein konstanter und gleichmäßiger Durchfluss gewährleistet ist.
- Analyse der Strömung in Kanälen und Kanälen: Sie wird zur Analyse der Strömung von Flüssigkeiten in Kanälen und Kanälen eingesetzt und ermöglicht die Bestimmung der Geschwindigkeit und Durchflussrate an verschiedenen Stellen im System.
- Optimierung der Effizienz hydraulischer Systeme: Sie dient der Optimierung der Effizienz hydraulischer Systeme wie Turbinen und Pumpen, da sie es ermöglicht, die Durchflussmenge und Geschwindigkeit der Flüssigkeit an verschiedenen Punkten im System zu berechnen und den optimalen Wert zu ermitteln Geometrie der Systemkomponenten.
Gelöste Übungen
Übung 1
Ein Rohr mit einem Querschnitt von 0,02 m² transportiert Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers in dem schmalen Rohr, wenn der Durchmesser des Rohrs auf die Hälfte seines ursprünglichen Werts reduziert wird?
Lösung:
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass der Volumenstrom der durch das Rohr fließenden Flüssigkeit während der gesamten Strömung konstant ist. Deshalb können wir schreiben:
A₁·v₁ = A₂·v₂
Dabei ist A1 der ursprüngliche Querschnitt des Rohrs, v1 die ursprüngliche Geschwindigkeit des Wassers, A₂ der Querschnitt des engen Rohrs und v₂ die Geschwindigkeit des Wassers im engen Rohr.
Wir haben A₂ = A₁/4, da der Durchmesser des Rohrs auf die Hälfte seines ursprünglichen Wertes reduziert wird, also A₂ = π(0,01 m)² = 0,000314 m².
Wenn wir die bekannten Werte in die Kontinuitätsgleichung einsetzen, erhalten wir:
0,02 m² × 2 m/s = 0,000314 m² × v₂
v₂ = (0,02 m² × 2 m/s) / 0,000314 m² = 127,39 m/s
Daher beträgt die Geschwindigkeit des Wassers in der engen Röhre 127,39 m/s.
Übung 2
Ein Rohr mit einem Durchmesser von 0,1 m transportiert Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wenn zwei Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m hinzugefügt werden, wie hoch ist dann die Geschwindigkeit des Wassers in jedem der kleineren Rohre?
Lösung:
Der Querschnitt eines Rohres mit 0,1 m Durchmesser beträgt A₁ = π(0,05 m)² = 0,00785 m². Daher beträgt der Volumenstrom des durch das 0,1 m lange Rohr fließenden Wassers:
Q = A₁v₁ = 0,00785 m² × 2 m/s = 0,0157 m³/s
Der Querschnitt eines Rohres mit 0,05 m Durchmesser beträgt A₂ = π(0,025 m)² = 0,0001963 m². Da zwei Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m vorhanden sind, beträgt die Gesamtfläche A₃ = 2A₂ = 0,0003926 m². Daher beträgt der Volumenstrom des durch die beiden 0,05 m langen Rohre fließenden Wassers:
Q = A₃·v₃
v3 = Q / A3 = 0,0157 m³/s / 0,0003926 m² = 40,11 m/s
Daher beträgt die Geschwindigkeit des Wassers in jedem der Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m 40,11 m/s.