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Strömungsmechanik

Kontinuitätsgleichung: Nutzen, Beispiele und Übungen

Kontinuitätsgleichung: Nutzen, Beispiele und Übungen

Die Kontinuitätsgleichung ist ein physikalisches Gesetz, das besagt, dass die Menge an Masse oder Flüssigkeit, die in ein geschlossenes System eintritt, gleich der Menge an Masse oder Flüssigkeit ist, die das System im gleichen Zeitraum verlässt.

Mathematisch ausgedrückt wird die Kontinuitätsgleichung durch die folgende Formel ausgedrückt:

A1 * v1 = A2 * v2

Wo:

  • A1 und A2 sind die Querschnittsflächen der Leitung oder des Rohrs an den Punkten 1 bzw. 2.

  • v1 und v2 sind die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit an den Punkten 1 bzw. 2.

Wenn gemäß der Kontinuitätsgleichung die Querschnittsfläche der Leitung oder des Rohrs, durch die die Flüssigkeit fließt, konstant gehalten wird, stehen die Geschwindigkeit der Flüssigkeit und die Durchflussrate in umgekehrter Beziehung zueinander. Mit anderen Worten: Wenn die Geschwindigkeit der Flüssigkeit zunimmt, nimmt die Strömungsgeschwindigkeit ab und umgekehrt.

Wofür wird die Kontinuitätsgleichung verwendet?

Die Kontinuitätsgleichung hat vielfältige Anwendungen in der Physik und im Ingenieurwesen, insbesondere in der Strömungsmechanik. Hier sind einige seiner Hauptanwendungen:

  1. Rohrleitungssystemdesign – Wird zur Berechnung der Durchflussrate und der Flüssigkeitsgeschwindigkeit an verschiedenen Punkten im Rohrleitungssystem verwendet, sodass Durchmesser und Länge der Rohre so dimensioniert werden können, dass ein konstanter und gleichmäßiger Durchfluss gewährleistet ist.

  2. Analyse der Strömung in Leitungen und Kanälen: Sie wird zur Analyse der Strömung von Flüssigkeiten in Leitungen und Kanälen eingesetzt und ermöglicht die Bestimmung von Geschwindigkeit und Strömung an verschiedenen Punkten des Systems.

  3. Optimierung der Effizienz hydraulischer Systeme: Es wird zur Optimierung der Effizienz hydraulischer Systeme wie Turbinen und Pumpen verwendet, da es die Berechnung des Durchflusses und der Geschwindigkeit der Flüssigkeit an verschiedenen Punkten im System und die Bestimmung der optimalen Geometrie des Systems ermöglicht Komponenten.

Für welche Art von Flüssigkeiten ist es gültig?

Die Kontinuitätsgleichung gilt für jede Art von Flüssigkeit, solange die Flüssigkeit inkompressibel und die Strömung stabil ist, d. h. Geschwindigkeit und Eigenschaften der Flüssigkeit an jedem Punkt im System ändern sich nicht mit der Zeit.

Eine inkompressible Flüssigkeit hat eine konstante Dichte und ändert ihr Volumen bei Druckeinwirkung nicht.

Beispiele für die Verwendung der Kontinuitätsgleichung 

Hier einige Anwendungsbeispiele:

Flüssigkeitsströmung in einem Rohr

Ein klassisches Beispiel für die Anwendung der Kontinuitätsgleichung ist die Flüssigkeitsströmung in einem Rohr.

Angenommen, eine Flüssigkeit strömt mit der Geschwindigkeit v1 durch ein Rohr mit dem Querschnitt A1 und tritt dann mit der Geschwindigkeit v2 in ein Rohr mit dem Querschnitt A2 ein .

Mit dieser Gleichung können wir die Rohrabschnitte dimensionieren, um die Strömungsgeschwindigkeit zu ändern.

Wasserfluss in einem Fluss

Die Kontinuitätsgleichung gilt auch für den Wasserfluss in einem Fluss.

Diese Gleichung wird verwendet, um die Geschwindigkeit des Wassers an verschiedenen Stellen im Fluss zu berechnen. Daher kann das Verhalten des Flusses unter verschiedenen Bedingungen vorhergesagt werden, beispielsweise beim Bau von Dämmen oder bei der Durchführung von Hochwasserschutzarbeiten.

Probleme zur Kontinuitätsgleichung in einer Flüssigkeit gelöst

Übung 1

Ein Rohr mit einem Querschnitt von 0,02 m² transportiert Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers in dem schmalen Rohr, wenn der Durchmesser des Rohrs auf die Hälfte seines ursprünglichen Werts reduziert wird?

Lösung:

Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass der Volumenstrom der durch das Rohr fließenden Flüssigkeit während der gesamten Strömung konstant ist. Deshalb können wir schreiben:

Av1 = Av2

Dabei ist A1 der ursprüngliche Querschnitt des Rohrs, v1 die ursprüngliche Geschwindigkeit des Wassers, A2 der Querschnitt des schmalen Rohrs und v2 die Geschwindigkeit des Wassers im schmalen Rohr.

Es gilt A 2 = A 1 /4, da der Durchmesser des Rohrs auf die Hälfte seines ursprünglichen Wertes reduziert wird, also A 2 = π(0,01 m)² = 0,000314 m².

Wenn wir die bekannten Werte in die Kontinuitätsgleichung einsetzen, erhalten wir:

0,02 m² × 2 m/s = 0,000314 m² × v 2

v2 = (0,02 m² × 2 m/s) / 0,000314 m² = 127,39 m/s

Daher beträgt die Geschwindigkeit des Wassers in der engen Röhre 127,39 m/s.

Übung 2

Ein Rohr mit einem Durchmesser von 0,1 m transportiert Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Wassers in jedem der kleineren Rohre, wenn zwei Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m hinzugefügt werden?

Lösung:

Der Querschnitt eines Rohres mit 0,1 m Durchmesser beträgt A1 = π(0,05 m)² = 0,00785 m². Daher beträgt der Volumenstrom des durch das 0,1 m lange Rohr fließenden Wassers:

Q = A1 v1 = 0,00785 m² × 2 m/s = 0,0157 m³/s

Der Querschnitt eines Rohres mit 0,05 m Durchmesser beträgt A2 = π(0,025 m)² = 0,0001963 m². Da zwei Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m vorhanden sind, beträgt die Gesamtfläche A3 = 2A2 = 0,0003926 m². Daher beträgt der Volumenstrom des Wassers, das durch die beiden 0,05-m-Rohre fließt:

Q = A3 v3

v 3 = Q / A 3 = 0,0157 m³/s / 0,0003926 m² = 40,11 m/s

Daher beträgt die Geschwindigkeit des Wassers in jedem der Rohre mit einem Durchmesser von 0,05 m 40,11 m/s.

Autor:
Veröffentlichungsdatum: 12. Mai 2023
Letzte Überarbeitung: 12. Mai 2023